引言：电与磁的统一
从孤立到统一
19世纪初期，电和磁被认为是两种完全独立的现象。电荷产生电场，磁荷（假想的）产生磁场，它们之间似乎没有任何联系。
然而，一系列令人惊叹的发现彻底改变了这个观点。1820年，丹麦物理学家奥斯特德（Hans Christian Ørsted）意外地发现，电流可以使指南针偏转——电可以产生磁。1831年，英国物理学家法拉第（Michael Faraday）发现变化的磁场可以产生电流——磁可以产生电。
这些发现暗示着电和磁之间存在深刻的联系。最终，这个谜团被苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）在1860年代解开。他不仅统一了电和磁，还预言了电磁波的存在——而光正是一种电磁波。
麦克斯韦方程组的美
麦克斯韦方程组是经典电磁学的基石，也是物理学中最优美的方程组之一。它仅用四个方程就描述了所有经典电磁现象：
- 高斯定律：电荷如何产生电场
- 高斯磁定律：不存在磁单极子
- 法拉第电磁感应定律：变化的磁场如何产生电场
- 安培-麦克斯韦定律：电流和变化的电场如何产生磁场
在接下来的篇幅中，我们将从最基本的概念开始，一步一步地推导出这四个方程。让我们开始这段电磁学的旅程。
第一章：向量微积分的语言
1.1 为什么要用向量？
在描述电磁场时，我们需要同时描述电场和磁场在空间中的分布和变化。场是空间的函数——每一点都有一个值（可能是标量或向量）。
标量场：温度场 $T(x, y, z)$，每点一个数值 向量场：电场 $\mathbf{E}(x, y, z)$，每点一个向量（有大小和方向）
向量是描述电磁场的完美语言，因为电场和磁场都有方向。
1.2 向量的基本运算
设 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 是三维向量：
$$\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z), \quad \mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)$$
点积（标量积）：
$$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos\theta$$
叉积（向量积）：
$$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{pmatrix} A_y B_z - A_z B_y \ A_z B_x - A_x B_z \ A_x B_y - A_y B_x \end{pmatrix} = (A_y B_z - A_z B_y, A_z B_x - A_x B_z, A_x B_y - A_y B_x)$$
1.3 梯度：标量场的变化率
对于一个标量场 $\phi(x, y, z)$，梯度（gradient）是一个向量，指向函数增长最快的方向：
$$\nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)$$
其中 $\nabla$ 是微分算子（读作"del"或"nabla"）：
$$\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)$$
物理意义：梯度指向方向导数最大的方向，其大小等于该方向的方向导数。
想象山坡上的每一点，梯度指向最陡峭的上坡方向，梯度的大小就是那个方向的陡峭程度。
1.4 散度：向量场的"源头"强度
散度（divergence）是向量场的标量函数，描述该点是场的"源"还是"汇"：
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$
物理意义：
- $\nabla \cdot \mathbf{F} > 0$：该点有"源"，向量向外发散
- $\nabla \cdot \mathbf{F} < 0$：该点有"汇"，向量向内汇聚
- $\nabla \cdot \mathbf{F} = 0$：向量既不产生也不消失
想象一个水源（正散度）和一个排水口（负散度），散度描述了这些"源头"的强度。
1.5 旋度：向量场的"旋转"程度
旋度（curl）是向量场的向量函数，描述该点附近向量场的"旋转"程度：
$$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)$$
物理意义：旋度的方向是旋转轴的方向（右手螺旋定则），旋度的大小是旋转的剧烈程度。
想象一个漩涡，旋度指向漩涡的中心轴方向。
1.6 高斯定理：体积分与面积分的关系
高斯定理（散度定理）是向量微积分中最重要的定理之一：
$$\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) , dV = ∯_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$$
含义：向量场穿过闭合曲面的通量等于该曲面所围体积内场的散度的积分。
直观理解：想象一个气球，内部有气体不断产生（散度为正），那么气球表面的气体流出速率（通量）就等于内部产生气体的速率。
1.7 斯托克斯定理：面积分与线积分的关系
斯托克斯定理（旋度定理）描述了曲面积分与曲线积分的关系：
$$\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$
含义：向量场沿闭合曲线的环流等于该曲线所围曲面上旋度的通量。
直观理解：想象水流中的漩涡，旋度越大，水流沿漩涡边缘流动得越快。
第二章：静电场与高斯定律
2.1 库仑定律：电荷之间的相互作用
1785年，法国物理学家库仑（Charles-Augustin de Coulomb）通过扭秤实验发现了电荷之间相互作用的规律。
库仑定律：两个点电荷 $q_1$ 和 $q_2$ 之间的力与它们电量的乘积成正比，与距离的平方成反比：
$$\mathbf{F}{12} = k_e \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{\mathbf{r}}{12}$$
其中 $k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.99 \times 10^9 , \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ 是库仑常数，$\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} , \text{F/m}$ 是真空介电常数。
方向：
- 同性电荷相斥，异性电荷相吸
- $\hat{\mathbf{r}}_{12}$ 是从 $q_1$ 指向 $q_2$ 的单位向量
2.2 电场的定义
电场是电荷在周围空间激发的场。当我们把一个试探电荷 $q_0$ 放在电场中时，它会受到电力：
$$\mathbf{F} = q_0 \mathbf{E}$$
因此，电场强度定义为：
$$\mathbf{E} = \frac{\mathbf{F}}{q_0}$$
对于点电荷 $q$ 在空间中产生的电场：
$$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2} \hat{\mathbf{r}}$$
2.3 电场叠加原理
电场满足叠加原理：多个电荷产生的电场等于各电荷单独产生电场的矢量和。
对于连续分布的电荷：
$$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}’)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|^2} \hat{\mathbf{r}} , d\tau’$$
其中 $\rho(\mathbf{r}’)$ 是电荷密度，$d\tau’$ 是体积元。
2.4 电场线的概念
电场线是帮助我们可视化电场的工具：
- 电场线的切线方向是电场的方向
- 电场线的密度（垂直于方向）是电场强度的大小
性质：
- 电场线从正电荷出发，终止于负电荷
- 电场线不会闭合（静电场是保守场）
- 电场线不会相交（每点电场方向唯一）
2.5 高斯定律的推导
现在我们从库仑定律推导出高斯定律。
第一步：计算点电荷的电场通量
考虑一个点电荷 $q$，计算它通过任意闭合曲面 $S$ 的电通量。
以点电荷为中心画一个半径为 $r$ 的球面 $S_0$，电场通量为：
$$\Phi_E = ∯{S_0} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = ∯{S_0} E , dS = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$$
第二步：任意闭合曲面
对于任意闭合曲面 $S$，利用电场线的概念：
- 如果 $S$ 包围点电荷 $q$，电场线全部穿出，通量等于 $\frac{q}{\varepsilon_0}$
- 如果 $S$ 不包围点电荷，进入的电场线数等于穿出的电场线数，通量为零
第三步：电介质中的情况
如果曲面内有体电荷密度 $\rho$，则总电量为：
$$Q_{\text{enc}} = \iiint_V \rho , dV$$
因此，高斯定律为：
$$∯S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q{\text{enc}}}{\varepsilon_0} = \frac{1}{\varepsilon_0} \iiint_V \rho , dV$$
第四步：微分形式
使用高斯定理（散度定理）：
$$\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{E}) , dV = \frac{1}{\varepsilon_0} \iiint_V \rho , dV$$
由于这个等式对任意体积 $V$ 成立，被积函数必须相等：
$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$
这就是高斯定律的微分形式！
2.6 电势与电场的关系
由于静电场是保守场，可以定义电势 $V$（或 $\phi$）：
$$\mathbf{E} = -\nabla V$$
积分形式：
$$V(\mathbf{r}) = -\int_{\infty}^{\mathbf{r}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$$
对于点电荷：
$$V(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r}$$
第三章：静磁场与安培定律
3.1 磁场的发现
人们很早就知道磁石可以吸引铁器。1820年，奥斯特德发现电流可以使磁针偏转，这是电产生磁的第一个证据。
安培（André-Marie Ampère）进一步研究发现，通有电流的导线之间也存在相互作用力——这建立了电流与磁场之间的定量关系。
3.2 毕奥-萨伐尔定律
毕奥-萨伐尔定律（Biot-Savart Law）描述了电流元在空间中产生的磁场：
$$d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I , d\mathbf{l} \times \hat{\mathbf{r}}}{r^2}$$
其中：
- $I , d\mathbf{l}$ 是电流元（$d\mathbf{l}$ 是导线长度元矢量）
- $\hat{\mathbf{r}}$ 是从电流元指向场点的单位向量
- $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , \text{N/A}^2$ 是真空磁导率
叉积的意义：电流元的磁场方向垂直于电流方向和连线方向（右手定则）。
对于一段导线产生的磁场：
$$\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{I , d\mathbf{l} \times \hat{\mathbf{r}}}{r^2}$$
3.3 安培力
电流在磁场中会受到力。对于电流元 $I , d\mathbf{l}$ 在磁场 $\mathbf{B}$ 中：
$$d\mathbf{F} = I , d\mathbf{l} \times \mathbf{B}$$
这就是洛伦兹力在磁场中的形式（洛伦兹力的完整形式还包括电力 $q\mathbf{E}$）。
3.4 安培环路定律的推导
安培环路定律描述了磁场与产生它的电流之间的关系。
实验观察：长直导线的磁场
对于无限长直导线，距离导线 $r$ 处的磁场大小为：
$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$
方向沿圆周切线方向（右手握住导线，大拇指指向电流方向，四指环绕方向为磁场方向）。
计算沿闭合环路的线积分
考虑以导线为中心、半径为 $r$ 的圆周环路 $C$：
$$\oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \oint_C B , dl = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \cdot 2\pi r = \mu_0 I$$
推广到任意环路
安培环路定律的完整形式：
$$\oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$$
其中 $I_{\text{enc}}$ 是环路所包围的净电流。
微分形式
使用斯托克斯定理：
$$\iint_S (\nabla \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}} = \mu_0 \iint_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{S}$$
由于对任意曲面 $S$ 成立：
$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$$
这就是安培定律的微分形式！
3.5 静磁场的性质
从安培定律可以推出静磁场的重要性质：
散度为零：$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$
- 表明不存在"磁单极子"
- 磁感线是闭合曲线
旋度不为零：$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$
- 磁场是非保守场
- 电流是磁场的"旋涡源"
第四章：法拉第电磁感应定律
4.1 电磁感应的发现
1831年，法拉第发现了电磁感应现象：变化的磁场可以在导体中产生电流。
实验现象：
- 磁铁插入线圈时，线圈中产生电流
- 磁铁拔出时，线圈中产生反向电流
- 电流变化越快，感应电动势越大
4.2 磁通量的定义
磁通量 $\Phi_B$ 是磁场穿过某一面积的量度：
$$\Phi_B = \iint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S}$$
其中 $d\mathbf{S}$ 是面积元矢量，方向沿曲面的法向。
4.3 法拉第定律的推导
法拉第定律描述了感应电动势与磁通量变化率的关系：
$$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$$
负号表示楞次定律：感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因。
线圈的感应电动势
对于 $N$ 匝线圈：
$$\mathcal{E} = -N \frac{d\Phi_B}{dt}$$
积分形式
感应电动势是电场沿闭合回路的线积分：
$$\mathcal{E} = \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$$
因此：
$$\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \iint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S}$$
微分形式
使用斯托克斯定理：
$$\iint_S (\nabla \times \mathbf{E}) \cdot d\mathbf{S} = -\frac{d}{dt} \iint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S}$$
由于曲面 $S$ 固定，可以将时间导数移入积分：
$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$
这就是法拉第定律的微分形式！
4.4 电磁感应的物理意义
法拉第定律揭示了一个深刻的物理事实：
变化的磁场会产生电场
这与静电场（由电荷产生，电场线从正电荷出发终止于负电荷）不同，感生电场的电场线是闭合的。
第五章：位移电流与麦克斯韦方程组
5.1 安培定律的疑难
麦克斯韦注意到安培定律 $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$ 存在一个问题。
考虑一个电容器充电的电路：
- 电荷从电源流向电容器极板
- 电容器两极板之间的区域没有传导电流
如果我们取一个穿过电容器极板间的环路，安培定律给出：
$$\oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$$
但当我们选择的曲面与导线相交时，$I_{\text{enc}} = I$；当我们选择的曲面穿过电容器两极板之间时，$I_{\text{enc}} = 0$。
矛盾：同一个闭合环路的线积分不可能同时等于 $\mu_0 I$ 和 0！
5.2 麦克斯韦的解决方案
麦克斯韦意识到，问题在于电流是不稳定的——电荷正在积累。他引入了位移电流的概念。
位移电流密度定义为：
$$\mathbf{J}_d = \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$
总电流密度：
$$\mathbf{J}_{\text{total}} = \mathbf{J} + \mathbf{J}_d = \mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$
5.3 位移电流的物理意义
位移电流不是真实的电荷流动，而是电场变化的等效效应。
考虑电容器充电过程：
- 导线中有传导电流 $I$
- 电容器极板上电荷积累：$Q = CV$
- 电场随时间变化：$\frac{dE}{dt}$
电容器中的等效电流等于导线中的传导电流，保证了电流的连续性。
5.4 修正后的安培定律
将位移电流加入安培定律：
$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \left( \mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right)$$
或者写成：
$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$
这就是安培-麦克斯韦定律！
5.5 完整的麦克斯韦方程组
现在，我们拥有了完整的麦克斯韦方程组。
积分形式：
高斯定律（电场）： $$∯S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$$
高斯磁定律： $$∯_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = 0$$
法拉第电磁感应定律： $$\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -\frac{d}{dt} \iint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S}$$
安培-麦克斯韦定律： $$\oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$$
微分形式（更简洁的形式）：
高斯定律： $$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$
高斯磁定律： $$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$
法拉第定律： $$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$
安培-麦克斯韦定律： $$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$
第六章：从麦克斯韦方程到电磁波
6.1 麦克斯韦的预言
1865年，麦克斯韦从他的方程组中推导出一个惊人的预言：电磁波的存在。
让我们从麦克斯韦方程组出发，看看如何推导出电磁波方程。
6.2 真空中的麦克斯韦方程
在没有电荷和电流的区域（$\rho = 0$, $\mathbf{J} = 0$），麦克斯韦方程组简化为：
$$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$$ $$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$ $$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$ $$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$
6.3 推导电磁波方程
对方程3两边取旋度：
$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla \times \left(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)$$
利用向量恒等式 $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}$，以及 $\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$：
$$-\nabla^2 \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{B})$$
代入方程4：
$$-\nabla^2 \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)$$
整理得：
$$\nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$$
这就是电场满足的波动方程！
同理对磁场有：
$$\nabla^2 \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}$$
6.4 波速的计算
标准波动方程的形式为：
$$\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$$
比较得：
$$v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$$
代入数值：
$$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , \text{N/A}^2$$ $$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} , \text{F/m}$$
$$v = \frac{1}{\sqrt{(4\pi \times 10^{-7}) \times (8.85 \times 10^{-12})}} \approx 3.00 \times 10^8 , \text{m/s}$$
这个速度恰好等于光速！
6.5 麦克斯韦的革命性结论
麦克斯韦得出结论：
光是一种电磁波
这个结论统一了光学和电磁学——光学的规律可以从电磁学的基本方程推导出来。
6.6 电磁波的性质
从麦克斯韦方程组可以推出电磁波的重要性质：
- 横波：电场和磁场都垂直于传播方向
- 互相垂直：$\mathbf{E} \perp \mathbf{B}$，且 $\mathbf{E} \perp \mathbf{k}$，$\mathbf{B} \perp \mathbf{k}$（$\mathbf{k}$ 是波矢）
- 同相位：$\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ 同时达到最大值和最小值
- 固定比例：$|\mathbf{E}| = c|\mathbf{B}|$
- 能量密度：$u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$
- 坡印廷矢量：$\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}$（能量流密度）
第七章：边界条件与介质的麦克斯韦方程
7.1 为什么需要边界条件？
麦克斯韦方程组的微分形式在空间中的每一点都成立，但在两种不同介质的分界面上，场可能出现不连续（电场在导体表面垂直分量很大，磁场可能有切向分量跳跃）。
边界条件描述了场在穿过界面时的变化。
7.2 电场和磁场的边界条件
电场的边界条件：
$$(\mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1) \cdot \hat{\mathbf{n}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$ $$(\mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1) \times \hat{\mathbf{n}} = 0$$
其中 $\hat{\mathbf{n}}$ 是从介质1指向介质2的单位法向量，$\sigma$ 是表面电荷密度。
磁场的边界条件：
$$(\mathbf{B}_2 - \mathbf{B}_1) \cdot \hat{\mathbf{n}} = 0$$ $$(\mathbf{B}_2 - \mathbf{B}_1) \times \hat{\mathbf{n}} = \mu_0 (\mathbf{K} \times \hat{\mathbf{n}})$$
其中 $\mathbf{K}$ 是表面电流密度。
7.3 介质中的麦克斯韦方程
在介质中，我们需要引入电位移 $\mathbf{D}$ 和磁场强度 $\mathbf{H}$：
$$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}$$ $$\mathbf{H} = \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{M}$$
其中 $\mathbf{P}$ 是极化强度，$\mathbf{M}$ 是磁化强度。
介质中的麦克斯韦方程：
$$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_{\text{free}}$$ $$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$ $$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$ $$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_{\text{free}} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$$
7.4 线性各向同性介质
对于线性各向同性介质：
$$\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E} = \varepsilon_r \varepsilon_0 \mathbf{E}$$ $$\mathbf{H} = \frac{\mathbf{B}}{\mu} = \frac{\mathbf{B}}{\mu_r \mu_0}$$
第八章：电磁学的应用
8.1 静电学的应用
电容器：储存电能的器件
$$C = \frac{Q}{V} = \frac{\varepsilon A}{d}$$
电场的能量：
$$U = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$$
8.2 磁学的应用
电感器：储存磁能的器件
$$L = \frac{\Phi}{I}$$
磁场的能量：
$$U = \frac{1}{2} L I^2$$
8.3 电磁感应的应用
变压器：利用互感改变交流电压
$$V_1/V_2 = N_1/N_2$$
发电机：机械能转化为电能
电动机：电能转化为机械能
8.4 电磁波的应用
无线电通信：利用电磁波传输信息 雷达：利用电磁波探测距离 光纤通信：利用光（电磁波）传输信息 微波炉：利用电磁波加热食物
结语：方程组的完美与力量
麦克斯韦方程组的意义
回顾我们走过的旅程，从库仑定律到法拉第感应，从安培环路定律到位移电流，我们最终得到了麦克斯韦方程组——四个简洁而深刻的方程。
麦克斯韦方程组的美体现在：
统一性：电、磁、光原本被认为是三种独立的现象，现在被统一在同一个理论框架下。
预言性：麦克斯韦方程组预言了电磁波的存在，并计算出它的速度。这是对理论力量的最好证明。
简洁性：自然界复杂的电磁现象可以用四个方程完美描述。
对称性：电场和磁场在方程中表现出优美的对称性。
狭义相对论的诞生
麦克斯韦方程组还带来了一个意想不到的惊喜。在1887年，迈克尔逊-莫雷实验发现光速是各向同性的，这与经典物理学（伽利略变换）矛盾。
这个问题最终由爱因斯坦在1905年解决——他提出了狭义相对论。爱因斯坦发现，麦克斯韦方程组在洛伦兹变换下保持不变，而伽利略变换需要被抛弃。
事实上，狭义相对论正是从麦克斯韦方程组中"长"出来的。
给读者的话
如果你读到这里，恭喜你！你已经完成了从库仑定律到麦克斯韦方程组的完整旅程。
麦克斯韦方程组是物理学中最伟大的成就之一。它不仅统一了电、磁、光三种现象，还预言了无线电、电视、手机等现代技术的理论基础。
每当我们使用手机、打开电视、连接WiFi时，我们都在享受麦克斯韦方程组的成果。这个19世纪推导出的方程组，至今仍在塑造我们的日常生活。
附录：重要公式汇总
向量微分算子
梯度： $$\nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)$$
散度： $$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$
旋度： $$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)$$
基本定律
库仑定律： $$\mathbf{F} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{\mathbf{r}}$$
毕奥-萨伐尔定律： $$d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I , d\mathbf{l} \times \hat{\mathbf{r}}}{r^2}$$
洛伦兹力： $$\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$$
麦克斯韦方程组（微分形式）
$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$
$$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$
$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$
$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$
麦克斯韦方程组（积分形式）
$$∯S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$$
$$∯_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = 0$$
$$\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$$
$$\oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$$
重要常数
| 符号 | 名称 | 数值 |
|---|---|---|
| $\varepsilon_0$ | 真空介电常数 | $8.85 \times 10^{-12} , \text{F/m}$ |
| $\mu_0$ | 真空磁导率 | $4\pi \times 10^{-7} , \text{N/A}^2$ |
| $c$ | 光速 | $3.00 \times 10^8 , \text{m/s}$ |
| $k_e$ | 库仑常数 | $8.99 \times 10^9 , \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ |
本文旨在为有一定数学基础的读者提供电磁学的入门导引。更深入的学习建议参考专业教材，如David J. Griffiths的《Introduction to Electrodynamics》、Jackson的《Classical Electrodynamics》等。